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21點是所有賭場遊戲中，唯一有機會擊敗莊家賺到錢的遊戲。Thorp在1962年提出21點的算牌技巧，證明只要按照『某種規則』下注，21點賭局的期望獲利會變為正。本文我們當然不是要探討該如何玩21點 ? 我們想要探討的問題：既然這是個會讓賭場賠錢的遊戲，為何21點仍在各大賭場屹立不搖? 我更好奇的是21點擊敗莊家的數學原理。
為何21點有利可圖?
21點說穿了就是玩家與莊家比大小的遊戲。當然前提是不超過21點，超過21點即為爆牌，直接判輸。玩家拿到最初的兩張牌後，可以選擇繼續拿牌(Hit)或是停牌(Stand)，在某些條件下可以選擇加倍下注(Double)，或是分牌(Split)。換句話說玩家的選擇只有四種(Hit、Stand、Double、Split)，有些賭場規則還增加了保險(Insurance)跟投降(Surrender)，本文先不考慮。因此，除了停牌以外，其餘三種都必須再加籌碼下去。而莊家在玩家結束後才開始補牌，必須一直補到17點以上方能停。Thorp於是根據各種可能的牌型分析較有利機率的打法。舉例來說，莊家拿到7點，玩家拿到16點，玩家該Hit還是Stand? 許多人會直覺玩家再補牌容易爆牌，然而這裡卻是玩家要繼續補牌較為有利。
然而，玩家背熟標準打法就萬無一失嗎? 錯! 基本上標準打法只是對賭客”最有利”的打法而已。最有利當然不代表會賺，因為整體期望值還是負的。一般來說，以標準打法玩21點，期望值大約-0.5%左右，也就是說每打1000元，大概還會輸5塊錢。雖然這已經是賭場裡大部分遊戲裡輸最少的，但畢竟負期望值的遊戲打越多還是輸越多。那到底如何變成正期望值呢?
我想沒有人會不同意賭局是機率(勝率)與賠率(賺賠比)的遊戲，要分辨一場賭局是否有利可圖? 最簡單的方式就是計算期望值。以21點賭局來說，賠率大部分皆為1，有就是說你壓住多少賭金，如果贏了可以賺得一倍；如果輸了，那壓下去的賭金就賠光。舉例來說，我賭100元，將100元籌碼放在賭桌上，如果贏了我就淨賺100元 (也就是拿回200元)。如果輸了，壓在賭桌上的100元就由莊家收走。
而按照21點標準打法計算的期望值，是假設每一次押的賭金都是一樣。如果我們能對所有牌型分辨出什麼時候對玩家有利，什麼時候對玩家不利，然後再對玩家有利的時候下比較大柱，那便有可能改變長期下來的期望值。
舉例來說，若將21點賭局分成A與B兩種情況。若A條件出現，贏牌的機會有51%；若B條件出現，贏的機會只剩48%。因為賠率都是1，且假設A與B出現的機率分別為40%與60%，每次下注1元，計算期望獲利的方式為
A期望獲利：0.511 + 0.49 -1 = 0.02 (有利可圖)1 + 0.54 -1 = -0.08 (無利可圖)0.02 + 60% (-0.08) = -0.04 < 0 (負的，無利可圖)
但如果我們考慮部位大小，在A情況改下注8元，B情況維持基本下注1元，則期望獲利變為：
A期望獲利：0.518+0.49 -8 = 0.16 (有利可圖)1+0.54 -1 = -0.08 (無利可圖)0.16+60% (-0.08) = 0.016 > 0 (正的，有利可圖)
至於這個A情況跟B情況是什麼呢? Thorp便是針對這點進行設計。舉例來說，如果前面幾位玩家手上拿到的小牌居多，則此結果對玩家較有利。因為留在牌盒內較有可能是大牌，這使得莊家補牌到17點的過程中容易爆牌，因此玩家勝率提高；反過來，若是前面已出現的大牌較多，則對玩家不利，因為莊家較不易爆牌，就有可能贏了玩家。
一般來說，我們設定 2,3,4,5,6為小牌，計為 -1點。7,8,9為中性牌，計為0點。10,J,K,Q,A為大牌，計為+1點。此即為大部分玩家最常用的Hi-Lo算牌法，藉著已出現點數的計算，我們可知目前情況是屬於A或B哪一種，進而決定下注資金該保守還是該積極?)使得整體資產成長最快速。傳統Kelly formula計算出來的最佳下注比例為 f = (p*(1+b)-1)/b。而21點賭局裡大部分的賠率可以用b = 1表示 (先不考慮BJ出現2賠3，賠率算為1.5的情況)，則
f* = (p*(1+1)-1)/1 = 2p-1 = p-q。
這便是我們常在21點文章裡看到的下注公式：贏的機率減去輸的機率。因此，當我們將勝率提高到p = 51%，根據Kelly formula可知最佳下注比例為 p-q = 2%；當我們提高勝率到p = 52%，最佳下注比例為 p-q = 4%。當我們遇到有機會Double時，肯定是出現的牌型勝率大大提高，且上述比例亦變為2倍。利用基本策略，打出最有利可圖的打法，再利用Kelly formula計算最佳下注比例，這便是21點擊敗莊家背後的數學原理。
原來21點沒有那麼好賺
賠率為1的遊戲玩100局，我們重複模擬100次的累計報酬。可以觀察到勝率51%的獲利大約2成以內，但仍然有不少機會虧損2成。勝率52%的大約是獲利2倍以內，但因為下注金額較大，甚至有機會賠掉5成本金。
總結來說，風險與利潤還是相對的，遇到本金賠個20%、50%甚至輸光光也是常有的事，這是機率下的必然，沒有人可以打敗機率。換句話說，想當21點職業賭客，除了技術要練純熟，算牌跟呼吸一樣自然，還必須忍人所不忍。想要”穩定獲利賺大錢”還是得靠點運氣，畢竟天底下沒有白吃的午餐，天天打牌8~12小時，一年365天有300天都在打牌，這或許就是職業賭客的日常。如果再遇到鉅額虧損，心態該如何調適如何自處? 或許才是職業玩家能否生存下去的關鍵所在! 而為何賭場依然有21點遊戲，除了大部分賭客還是不會算牌外，部分賭客在虧損下失去理智，下大注想要一次駁回來，結果往往可想而知，這也便是賭場21點的利潤所在!
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